VIII Les fractales de la géologie : la côte de Bretagne
Quelle est la longueur exacte de la côte de Bretagne ? La question est bien moins triviale qu'il y paraît. En effet, une côte présente des golfes, des baies et des promontoires. Chaque golfe est découpé à son tour en criques plus petites, et chaque promontoire en promontoires plus petits. On comprend que la longueur mesurée va dépendre du niveau de détail que l'on prendra en compte. Les dictionnaires et les atlas géographiques, eux-mêmes, avancent des valeurs très différentes. Serait-ce parce que personne n'a vraiment mesuré cette distance ?
Pour commencer, on peut tout d'abord se contenter d'une mesure grossière, avec une barre d'un mètre que l'on reporte bout à bout comme le fait un arpenteur. On obtiendra ainsi une certaine distance. Par ailleurs, si on utilise une barre de 10 cm, on va pouvoir se coller plus près du bord de la côte et pénétrer dans des recoins du contour inaccessibles avec la barre de 1 mètre. La longueur que l'on va mesurer sera donc d'autant plus grande, l'étalon choisi étant plus petit et appliqué au même contour. De même, si on utilise un segment de 1 µm, on pourra contourner le bord de chaque grain de sable qui est à la limite des terres émergées. Si on imagine utiliser un segment infiniment petit, la longueur de cette côte devient infiniment longue ! La cote de Bretagne est considérée fractale, elle reprend le principe du flocon de Koch, car plus la mesure de la côte sera précise, plus la longueur sera grande (exemple : si les mesures sont faites au sol, on peut augmenter la précision, galet par galet, grain de sable par grain de sable, molécule par molécule, atome par atome. ). Ci dessous sont représentés les tracés (en rouge), réalisés au compas, de la longueur de la côte de Bretagne pour 3 étalons différents : l'un grossier (trés grosse ouverture du compas, l'autre plus adapté (ouverture moyenne) et le dernier assez précis (petite ouverture).
Selon Mandelbrot,
le contour de la côte de Bretagne a une dimension probablement estimée entre
1 et 1,5. Plus ce contour est replié, plus il "occupe de la place sur le plan",
et donc plus il tend à remplir la deuxième dimension. Avec les objets mathématiques
bien définis, on peut calculer précisément cette dimension fractale.
Vue de l'espace, du ciel ou sur terre les motifs
d'une côte sont les mêmes... La forme de la côte est autosimilaire. Des physiciens,
dont Bernard Sapoval, apportent une première réponse: il s'agit d'une situation
d'équilibre entre deux phénomènes. L'érosion qui découpe la côte et augmente
son irrégularité. Ce relief perturbé amortit l'influence érosive des vagues.
Cet équilibre fait que le système devient stationnaire: sa forme change mais
pas sa fractalité... (c'est-à-dire les paramètres mathématiques qui la caractérisent).